Objectif de ces consultations qui s'accélèrent: trouver un chef de gouvernement qui ne soit pas aussitôt censuré par une majorité de députés, alors que les élections ont conduit à une Assemblée nationale sans majorité.
Dans une France profondément divisée, le gouvernement démissionnaire continue de gérer les affaires courantes.
Le président français veut aussi que le bloc central fasse partie de la future majorité.
Bernard Cazeneuve, 61 ans, était ministre de l'Intérieur au moment des sanglants attentats terroristes de 2015, puis Premier ministre des derniers mois du quinquennat du président socialiste François Hollande.
Il a quitté le Parti socialiste (PS) en 2022, farouchement opposé à l'alliance avec le principal parti de gauche radicale LFI, au sein de la Nouvelle union populaire écologique et sociale (Nupes).
Cela pourrait lui valoir d'être soutenu par le bloc central tout en échappant à la censure de la droite et de l'extrême droite.
Mais son arrivée à Matignon pourrait diviser les socialistes.
Président du parti de droite Les Républicains et d'une région du nord de la France, M. Bertrand, qui succèdera à M. Sarkozy dans le bureau d'Emmanuel Macron, n'a pas caché que la fonction l'intéresserait.
Mais il n'a pas l'appui des dirigeants de son parti qui veulent arriver en opposants à la présidentielle de 2027 et refusent toute coalition ou participation au futur gouvernement.
Et encore faut-il aussi qu'Emmanuel Macron et son futur Premier ministre s'accordent sur les modalités de leur entente.
La réforme impopulaire sur la retraite à 64 ans fera notamment partie des sujets délicats à aborder alors que le président français redoute de voir détricoter son bilan.
Le temps presse pour un nouveau gouvernement car le budget 2025 doit être déposé au Parlement le 1er octobre au plus tard.